1. 高斯分布
假定信号传播过程中的噪声，在实部和虚部都是高斯分布的：均值为0，方差为$\sigma^2$，
$$
noise = a + bj \quad, \quad
a \sim N(0, \sigma^2), \quad
b \sim N(0, \sigma^2)
$$
高斯分布的噪声，它的平均功率被称为AWGN（Average White Gaussian Noise），
$$
P_n = 2\sigma^2
$$
对噪声时域序列做傅立叶变换，那么频谱中每一个频率点的噪声复数，同样是高斯分布的，
$$
F(k) = A + Bj \quad, \quad
A \sim N(0, \sigma^2), \quad
B \sim N(0, \sigma^2)
$$
2. 卡方分布
如果我们对噪声傅立叶变换结果（我们只关注其中一个频率点，后文省略符号$k$）取能量（模方），得到能量频谱$C$,
$$
C = A^2 + B^2
$$
令$X = A/\sigma$，$Y = B/\sigma$，则$X$和$Y$就是标准正态分布的。令$Z = X^2 + Y^2$，则$Z$是自由度为2的中心卡方分布，$Z \sim \chi_2^2$。根据自由度为$k$的卡方分布的概率密度$f(x, k)$
$$
f(x, k) = \frac 1{2^{\frac k2}\Gamma(\frac k2)} x^{\frac k2 - 1} e^{-\frac x2}
$$
我们可以写出$Z$的概率密度$f_Z(z)$为
$$
f_Z(z) = \frac 12 e^{- \frac z2}
$$
由于$C = A^2 + B^2 = \sigma^2 (X^2 + Y^2) = \sigma^2 Z$，所以$C$也服从自由度为2的卡方分布，$C \sim \chi_2^2$，下面推导$C$的概率密度
$$
\begin{align}
\int_{\infty} f_C(c) dc &= \int_{\infty} f_Z(z) dz \\
\int_{\infty} f_C(\sigma^2 z) \sigma^2 dz &= \int_{\infty} f_Z(z) dz \\
f_C(\sigma^2 z) \sigma^2 &= \frac 12 e^{- \frac z2} \\
f_C(c) &= \frac 1{2 \sigma^2} e^{- \frac c{2 \sigma^2}}
\end{align}
$$
这个形式同时也是$\lambda = \frac 1{2 \sigma^2}$的指数分布。
3. Gamma分布
$shape = \alpha$，$velocity = \beta$的$Gamma(\alpha, \beta)$分布的概率密度为
$$
f(x, \alpha, \beta) = \frac {\beta^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)} x^{\alpha - 1} e^{-\beta x} \quad,(x \ge 0)
$$
参数为$\lambda$的指数分布是Gamma分布的特殊形式，它的$\alpha = 1$，$\beta = \lambda$，那么能量频谱$C$实际上也服从$Gamma(1, \frac 1{2 \sigma^2})$分布。
如果我们对能量频谱进行积分（在离散的场景下对应为求和），定义积分次数为$N$的能量频谱积分$X$为
$$
X = \Sigma_{i = 0}^N C_i
$$
由于$C$是$Gamma$分布的，并且$Gamma$分布具有可加性（$N$个$Gamma(\alpha, \beta)$分布的随机变量之和服从$Gamma(N\alpha, \beta)$分布），所以能量频谱积分$X$服从$Gamma(N, \frac 1{2 \sigma^2})$分布，我们写出$X$的概率密度，
$$
f(x, N, \frac 1{2 \sigma^2}) = \frac 1{(N - 1)! 2 (\sigma^2)^N} x^{N - 1} e^{-\frac x{2 \sigma^2}} \quad,(x \ge 0)
$$
3.1 累积分布函数
累积分布函数CDF（Cumulative Distribution Function）是概率密度从$-\infty$到$x_0$的积分，对于服从$Gamma(N, \frac 1{2 \sigma^2})$分布的$X$来说，CDF为
$$
CDF(x_0, N, \frac 1{2 \sigma^2}) = \int_0^{x_0} f(x, N, \frac 1{2 \sigma^2}) dx
$$
积分结果无法用初等函数表示，如果给定概率$P(0 \le x \le x_0)$，我们就暂且把对应的阈值$x_0$使用CDF的反函数表示出来（具体值可以通过数值计算求解）
$$
x_0 = CDF^{-1}(P(0 \le x \le x_0), N, \frac 1{2 \sigma^2})
$$
3.2 尺度变换
$Gamma$分布的尺度因子$\theta$和速率因子$\beta$互为倒数，即$\beta \theta = 1$，对速率因子进行$n$倍缩放，等价于对尺度因子进行$\frac 1n$倍缩放。设$y_1 \sim Gamma(\alpha, \beta)$，$y_2 \sim Gamma(\alpha, n\beta)$，两者的概率密度分别为
$$
\begin{align}
f(y_1) &= \frac {\beta^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)} y_1^{\alpha - 1} e^{-\beta y_1} \quad,(y_1 \ge 0) \\
g(y_2) &= \frac {(n \beta)^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)} y_2^{\alpha - 1} e^{-n\beta y_2} \quad,(y_2 \ge 0) \\
&= n \cdot \frac {\beta^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)} (ny_2)^{\alpha - 1} e^{-\beta (n y_2)} \\
&= n \cdot f(ny_2)
\end{align}
$$
令$\alpha = N$，$\beta = 1$，$n = \frac 1{2 \sigma^2}$，则能量频谱积分$X$的CDF为
$$
\begin{align}
CDF(x_0, N, \frac 1{2 \sigma^2}) &= \int_0^{x_0} f(x, N, \frac 1{2 \sigma^2}) dx \\
&= \int_0^{x_0} nf(nx, N, 1) dx \\
&= \int_0^{x_0} f(nx, N, 1) d(nx) \\
&= \int_0^{n x_0} f(y, N, 1) dy \\
&= \int_0^{\frac {x_0}{2 \sigma^2}} f(y, N, 1) dy \\
&= CDF(\frac {x_0}{2 \sigma^2}, N, 1) \\
\end{align}
$$
$$
\begin{align}
&\therefore \frac {x_0}{2 \sigma^2} = CDF^{-1} (P(0 \le y \le \frac {x_0}{2 \sigma^2}), N, 1) \\
&\because P(0 \le x \le x_0) = P(0 \le y \le \frac {x_0}{2 \sigma^2}) \\
&\therefore x_0 = 2 \sigma^2 \cdot CDF^{-1}(P(0 \le x \le x_0), N, 1)
\end{align}
$$
4. 虚警率及其门限
定义虚警率$P_{fa}$为：噪声的能量频谱积分$X(k)$在$M$个频率点中的至少一个频率点处的能量积分超过门限值$x_0$的概率。
$$
P_{fa} = 1 - (P(0 \le x \le x_0))^M
$$
其中$P(0 \le x \le x_0)$是能量频谱积分在任一频率点处，能量积分的值都不超过$x_0$的概率。若虚警率是给定的常数，则
$$
P(0 \le x \le x_0) = 1 - P_{fa}^{\frac 1M}
$$
将这个表达式代入到尺度变换后的能量积分频谱的CDF阈值中，可得阈值$x_0$为
$$
x_0 = 2 \sigma^2 \cdot CDF^{-1}(1 - P_{fa}^{\frac 1M}, N, 1)
$$
将噪声的平均功率$P_n$代入上式，
$$
x_0 = P_n \cdot CDF^{-1}(1 - P_{fa}^{\frac 1M}, N, 1)
$$
这就是虚警率为$P_{fa}$对应的捕获门限值。其中的CDF反函数值，在虚警率、积分次数和频谱宽度给定的情况下，是与噪声平均功率无关的常数K，我们可以提前用数值求解方法计算出来。
$$
\begin{align}
K &= CDF^{-1}(1 - P_{fa}^{\frac 1M}, N, 1) \\
x_0 &= P_n \cdot K
\end{align}
$$
