海王星沙漠 - 捕获
type: channel
link: https://vegehunter.com/index.php/tag/%E6%8D%95%E8%8E%B7/
items: 恒虚警率捕获门限的数学原理

恒虚警率捕获门限的数学原理
type: item
date: 2025-09-16T01:03:00+08:00
description: 1. 高斯分布假定信号传播过程中的噪声，在实部和虚部都是高斯分布的：均值为0，方差为$\sigma^2$，$$ noise = a + bj \quad, \quad a \sim N(0, \sigma^2), \quad b \sim N(0, \sigma^2) $$高斯分布的噪声，它的平均功率被称为AWGN（Average White Gaussian Noise），$$ P_n = 2\sigma^2 $$对噪声时域序列做傅立叶变换，那么频谱中每一个频率点的噪声复数，同样是高斯分布的，$$ F(k) = A + Bj \quad, \quad A \sim N(0, \sigma^2), \quad B \sim N(0, \sigma^2) $$2. 卡方分布如果我们对噪声傅立叶变换结果（我们只关注其中一个频率点，后文省略符号$k$）取能量（模方），得到能量频谱$C$,$$ C = A^2 + B^2 $$令$X = A/\sigma$，$Y = B/\sigma$，则$X$和$Y$就是标准正态分布的。令$Z = X^2 + Y^2$，则$Z$是自由度为2的中心卡方分布，$Z \sim \chi_2^2$。根据自由度为$k$的卡方分布的概率密度$f(x, k)$$$ f(x, k) = \frac 1{2^{\frac k2}\Gamma(\frac k2)} x^{\frac k2 - 1} e^{-\frac x2} $$我们可以写出$Z$的概率密度$f_Z(z)$为$$ f_Z(z) = \frac 12 e^{- \frac z2} $$由于$C = A^2 + B^2 = \sigma^2 (X^2 + Y^2) = \sigma^2 Z$，所以$C$也服从自由度为2的卡方分布，$C \sim \chi_2^2$，下面推导$C$的概率密度$$ \begin{align} \int_{\infty} f_C(c) dc &= \int_{\infty} f_Z(z) dz \\ \int_{\infty} f_C(\sigma^2 z) \sigma^2 dz &= \int_{\infty} f_Z(z) dz \\ f_C(\sigma^2 z) \sigma^2 &= \frac 12 e^{- \frac z2} \\ f_C(c) &= \frac 1{2 \sigma^2} e^{- \frac c{2 \sigma^2}} \end{align} $$这个形式同时也是$\lambda = \frac 1{2 \sigma^2}$的指数分布。3. Gamma分布$shape = \alpha$，$velocity = \beta$的$Gamma(\alpha, \beta)$分布的概率密度为$$ f(x, \alpha, \beta) = \frac {\beta^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)} x^{\alpha - 1} e^{-\beta x} \quad,(x \ge 0) $$参数为$\lambda$的指数分布是Gamma分布的特殊形式，它的$\alpha = 1$，$\beta = \lambda$，那么能量频谱$C$实际上也服从$Gamma(1, \frac 1{2 \sigma^2})$分布。如果我们对能量频谱进行积分（在离散的场景下对应为求和），定义积分次数为$N$的能量频谱积分$X$为$$ X = \Sigma_{i = 0}^N C_i $$由于$C$是$Gamma$分布的，并且$Gamma$分布具有可加性（$N$个$Gamma(\alpha, \beta)$分布的随机变量之和服从$Gamma(N\alpha, \beta)$分布），所以能量频谱积分$X$服从$Gamma(N, \frac 1{2 \sigma^2})$分布，我们写出$X$的概率密度，$$ f(x, N, \frac 1{2 \sigma^2}) = \frac 1{(N - 1)! (2 \sigma^2)^N} x^{N - 1} e^{-\frac x{2 \sigma^2}} \quad,(x \ge 0) $$3.1 累积分布函数累积分布函数CDF（Cumulative Distribution Function）是概率密度从$-\infty$到$x_0$的积分，对于服从$Gamma(N, \frac 1{2 \sigma^2})$分布的$X$来说，CDF为$$ CDF(x_0, N, \frac 1{2 \sigma^2}) = \int_0^{x_0} f(x, N, \frac 1{2 \sigma^2}) dx $$积分结果无法用初等函数表示，如果给定概率$P(0 \l…